赤坂駅近くで、4人で個室で飲みたいと思ってます。予算は、6000円くらい。安すぎず高すぎずな丁度いい感じを探してます。

ふむぺこー！
ぴったりのお店教えてもらうぺこー！

個室居酒屋 番屋 赤坂店 メニュー：ｲﾍﾞﾘｺ豚しゃぶｺｰｽ - ぐるなび
http://r.gnavi.co.jp/g036902/menu10/

こちらはどうでしょう？おいしいイベリコ豚のしゃぶしゃぶのコースなどが予算内で楽しめますよ！
四人さんでも使える個室があるのでおすすめですー！

転石亭 流石 （【旧店名】赤坂 転石亭） - 赤坂/割烹・小料理 [食べログ]
http://s.tabelog.com/tokyo/A1308/A130801/13032831/

小料理屋っぽい感じがいいですかね
ここいいかなとおすすめしてみます
美味い料理とうまい酒がありますしなかなか落ち着いてるのでいい店ですよ
よかったら検討してみてください

赤坂 個室 魚介 築地屋 - ぐるなび
http://r.gnavi.co.jp/gcbz702/

新鮮な築地の魚介が味わえる和食居酒屋です。

桜肉のお店です。

赤坂　馬肉専門店　馬んざい（馬肉料理/赤坂見附駅 徒歩約1分）をネット予約するなら[Yahoo!予約 飲食店]
http://reservation.yahoo.co.jp/restaurant/detail/s000168167

Napoli's PIZZA & CAFFE ナポリス 赤坂一ツ木通り(赤坂/イタリアン・フレンチ) | ホットペッパーグルメ
http://www.hotpepper.jp/strJ001054151/

こちらのイタリアンはどうでしょう？ガイアの夜明けで紹介されたそうです。

ミッドタウン横のお洒落なカジュアルフレンチ、イタリアンはいかがでしょうか。
http://moodoo.jp/?p=105